3.16 Propiedades Trasformada Inversa (linealidad, traslación)

3.15 Algunas Trasformadas Inversas

3.14 Transformada inversa

3.13 Trasformada De Laplace Funcion Delta Dirac

3.12 Funcion Delta Dira

3.11 Trasformada De Laplace Funcion Periodica

3.10 Teorema de convolucion

3.9 Transformada de integrales

3.8 Trasformada De Derivadas Teorema

En utilizar la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales, las condiciones iniciales aparecen en transformar las derivadas de la función incógnita. Para obtener la ecuación general se asigna un valor constante a las condiciones iniciales. Este método suele ser útil tan solo si los coeficientes de la ecuación diferencial son polinomios de orden menor que el grado de la ecuación.

Sea f(t) continua y derivable por partes en 0<= T <=, sea f(t)de orden exponencial. Entonces existe la transformada de Laplace de la derivada y su valor es

En general, para n=>1, se tiene

Transformada de derivadas parciales Sea u(x, t) una función de dos variables, y Lt[u(x, t)] la transformada de Laplace respecto t. Entonces

En general

3.7 Transformada De Funciones Multiplicadas por t n , y divididas entre t

La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que
existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

Es decir:

Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t2f(t):de la siguiente manera:

3.6 Propiedades Trasformada De Laplace (linealidad, teoremas de traslación)

Siempre que no se diga lo contrario, supondremos en esta seccion que f es seccionalmente

continua y de orden exponencial.
Linealidad
propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a y b constantes

Si c1; c2 2 IR y f1(t); f2(t) son funciones cuyas transformadas respectivas son F1(s); F2(s), entonces

L(c1f1(t) + c2f2(t)) = c1L(f1) + c2L(f2) = c1F1(s) + c2F2(s)

Traslacion

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a y b constantes.

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad |a|, tal como se muestra en la figura

3.5 Funcion Escalon Unitario

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

3.5.1Trasformada De Laplace Funcion Escalon Unitario 
La transformada de u (t − a) con a ≥ 0 está dada por:

Sea f (t) una función cuya TL es F (s) . Entonces se cumple

3.4 Trasformada De Laplace Funciones Definidas Por Tramos

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas.

General, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos xk implica que las únicas discontinuidades de f son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen el la figura 1.2.

La función escalón unitario también se puede usar para expresar funciones definidas por tramos en forma compacta ;por ejemplo la función.

3.3 TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS

Se presenta la generalización de algunas formas de la transformada de Laplace de acuerdo al tipo de función de que se trate, mediante el teorema siguiente. De aquí en adelante no citaremos las restricciones en s; se sobreentiende que s tiene las restricciones suficientes para garantizar la convergencia de la transformada de Laplace correspondiente.

siempre que ambas integrales converjan para s>c. Por consiguiente, se deduce que:

 

3.2 EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA

Teorema: Existencia de la transformada. Sea f(t) de orden exponencial α en t ≥ 0. Sea f(t) seccionalmente continua en t ≥0, entonces ℒ {f(x)} existe para s > α.

3 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

3.1 DEFINICION LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.

Definimos: f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral.

s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace

F(s) = transformada de Laplace de f(t)

La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito.

Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo de “infinito” <= t <= “beta” si es posible partir del intervalo en un número finito de subintervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y tenga límites a izquierda y derecha.